泡沫鋁子彈撞擊下多孔金屬夾芯板的塑性動力響應研究二十

動力響應
由于結構和載荷的對稱性，取八分之一模型進行分析，如圖3-3所示：
實驗中撞擊夾芯板的子彈為圓柱體,理論分析中,按照等面積的辦法將圓截面子彈等效為方截面子彈，即：πr² = 4R²
其中，r為泡沫子彈圓截面的半徑，R為等效方截面的半邊長。
模型中CD和EF表示兩條塑性鉸線，它們的移動速度分別為ξ1和ξ2,方向如圖3-3所示，GH為鉸線的初始位置(即子彈作用邊緣)。L為板的半邊長。
根據動量守恒定理，有：

其中，l₁、l₂分別為鉸線CD和EF的長度。

則(3-11)式兩邊分別對ξ₁和ξ₂積分，得：

Rξ₁ + 1/2ξ₁²    = Rξ₂ - 1/2ξ₂²                                                                   (3-12)

解之得：

ξ₁  = √1-ξ₂² + 2Rξ₂  - 1                                          (3-13)

根據塑性鉸線的移動情況，在夾芯板的動力響應階段，可以進一步將運動過程細分為三相。第一相的運動示意圖如圖3-4所示，根據動量矩定理，有

mA₀v₁(L- 2/3R) = mA_cv_c[L-2/3(R-ξ₂)] 

+ ?₀^ξ1+ξ2m(R + ξ₁ - χ)χ₁v₁/(ξ₁ + ξ₂)[L -(R + ξ₁ - χ)]dx

+（M_0U + M_0C）t + 1/2N₀v₁t²                                          (3-14)

其中A₀=1/2R²，A_c=1/2(R-ξ₂)²，m=2p_fh+p_cc。

下面分別對方程(3-14) 右邊各項進行計算。

第一項:

mA_cv₁[L-2/3(R-ξ₂)]

= mv₁1/2(R-ξ₂)²[L-2/3(R-ξ₂)]

= mv₁(1/2R² -Rξ₂ +1/2ξ₂²)[(L-2/3R)+2/3ξ₂

= mv₁[1/2R²(L-2/3R)+(R² -RL)ξ₂ +(1/2L-R)ξ₂² +1/3ξ₂³]

第二項:

  ?₀^ξ1+ξ2 m(R + ξ₁ - χ)χv₁/(ξ₁ + ξ₂)[L - (R+ξ₁ - χ)］dχ

= mv₁/(ξ₁ + ξ₂)?₀^ξ1+ξ2 [(R+ξ₁)(L-R-ξ₁)χ+(R+ξ₁)χ²-(L-R-ξ₁)χ²-χ³]dχ

= mv₁/(ξ₁ + ξ₂)［1/2(R+ξ₁)(L-R-ξ₁)(ξ₁ + ξ₂)²+1/3(R+ξ₁)(ξ₁ + ξ₂)³

- 1/3(L-R-ξ₁)(ξ₁ + ξ₂)³  - 1/4(ξ₁ + ξ₂₎⁴］

= mv₁[1/2(R+ξ₁)(L-R-ξ₁)(ξ₁ + ξ₂)+2/3(R+ξ₁)(ξ₁ + ξ₂)²

- 1/3L(ξ₁ + ξ₂)²  -1/4(ξ₁ + ξ₂)³ ］

則(3-14)式化為:

1/2R²(L-2/3R)=1/2R²(L-2/3R) +(R²-RL)ξ₂

 +（1/2L-R）ξ₂² +1/3ξ₂³  + 1/2(R+ξ₁)（L-R-ξ₁)(ξ₁ + ξ₂)

 +［2/3(R+ξ₁)-1/3L］(ξ₁ + ξ₂)²  -1/4(ξ₁ + ξ₂)³                                                 (3-15)

則(3-15)式進一步簡化為
N_ot₂/2m + (M_0u + M_0c)t/mv₁+β₁=0                                       (3-16)

(3-16)式即為塑性鉸線的移動規律。由于兩條鉸線移動的速度不同，依據式(3-13),假設當鉸線EF到達中心點的同時鉸線CD也到達固支邊，容易得到此時對應R的取值為R/L=1/√2。因此，在下面分析中，據R/L的比值分情況討論。

a當R/L<1/√2時，鉸線EF首先到達板的中心點，此時鉸線CD未到達固支邊，該運動相結束時ξ₂=R，代入(3-16) 式可得
β₁ = 1/3R²-1/2R²L+[1/6L-1/12(R+ξ₁)］(ξ₁+R)²

則鉸線EF的運動規律由(3-16)式描述，將t=T₁代入(3-16)式可得
N_oT₁²/2m = (M_0u + M_0c)T₁/mv₁+β₁=0                      (3-17)

解(3-17)式可獲得該運動相的時間為
T₁ = (M_0u + M_0c)/N₀v₁［√1-2N₀mv₁²β₁/(M_0u + M_0c)²-1］                  （3-18）

在時間T1時，板中心點的撓度為：
W₁ = v₁T1 = (M_0u + M_0c)/N₀［√1-2N₀mv₁²β₁/(M_0u + M_0c)²-1］             (3-19)